Сколько корней имеет уравнение 4х^3 — 7х^2 + 3х — 1?

Уравнения с одной переменной – это один из главных предметов в математике. Основная задача при решении уравнения – найти значение переменной, при котором обе его части равны. Ответом на задачу является значение переменной, которое обращает уравнение в тождество.

Одно из самых распространенных заданий в школьной программе по математике – решить квадратное уравнение. Квадратным называется уравнение, которое содержит переменную во второй степени. Рассмотрим уравнение 4х^2 + 3х + 7х + 1.

Для определения количества корней квадратного уравнения можно воспользоваться дискриминантом. Дискриминант равен разности квадрата коэффициента при переменной x и умноженной на 4 произведения двух других коэффициентов. В нашем случае дискриминант равен (3 + 7)^2 — 4 * 4 * 1 = 10^2 — 16 = 100 — 16 = 84.

Корни уравнения 4х^2 + 3х + 7х + 1

Чтобы найти корни уравнения 4х^2 + 3х + 7х + 1, необходимо решить данное квадратное уравнение.

Сначала объединим все слагаемые с переменной х:

4х^2 + 3х + 7х + 1 = 4х^2 + 10х + 1

Затем, используя формулу дискриминанта, найдем значения дискриминанта:

D = b^2 — 4ac

где a, b и c — коэффициенты уравнения.

В данном случае a = 4, b = 10 и c = 1:

D = 10^2 — 4 * 4 * 1 = 100 — 16 = 84

Поскольку дискриминант D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.

Далее, используя формулу корней квадратного уравнения, найдем значения корней:

x = (-b ± √D) / (2a)

x₁ = (-10 + √84) / (2 * 4) ≈ (-10 + 9.17) / 8 ≈ -0.165

x₂ = (-10 — √84) / (2 * 4) ≈ (-10 — 9.17) / 8 ≈ -2.04

Таким образом, уравнение 4х^2 + 3х + 7х + 1 имеет два корня: x₁ ≈ -0.165 и x₂ ≈ -2.04.

Приведение уравнения к каноническому виду

Для приведения уравнения к каноническому виду, сначала нужно объединить все слагаемые и записать их в порядке убывания степеней переменной. В данном случае имеем уравнение 4х^2 + 3х + 7х + 1.

Сначала соберем все слагаемые с одинаковыми степенями и получим: 4х^2 + (3 + 7)х + 1.

Далее сложим коэффициенты при переменной: 4х^2 + 10х + 1.

Таким образом, уравнение 4х^2 + 3х + 7х + 1 приводится к каноническому виду 4х^2 + 10х + 1.

Для определения количества корней данного квадратного уравнения можно использовать дискриминант. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения 4х^2 + 10х + 1.

Подставляя значения коэффициентов, получаем D = 10^2 — 4·4·1 = 100 — 16 = 84.

Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней.

В данном случае дискриминант равен 84, что больше нуля, поэтому квадратное уравнение 4х^2 + 10х + 1 имеет два различных корня.

Многочлены и их свойства

Коэффициенты многочлена могут быть числами, переменными или выражениями. Степень многочлена определяется наибольшим степенным членом, то есть выражением с наибольшей степенью переменной. Коэффициент при этом степенном члене называется его ведущим коэффициентом.

В данной статье рассмотрим свойства многочленов и применение их в анализе уравнений. Одним из важных свойств многочленов является их способность задавать уравнения. Уравнение, состоящее из многочлена, равного нулю, называется многочленом. Число корней уравнения определяется количеством его пересечений с осью абсцисс.

Для определения количества корней многочлена необходимо найти его дискриминант. Для квадратного многочлена вида ax^2 + bx + c дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac. Если дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня. Если дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень. Если дискриминант меньше нуля, у уравнения нет корней вещественных чисел.

В случае уравнения 4x^2 + 3x + 7x + 1, можно заметить, что коэффициент при x^2 равен 4, при x равен 3 + 7 = 10, а свободный член равен 1. Чтобы найти дискриминант, нужно подставить значения коэффициентов в формулу: D = 10^2 — 4 * 4 * 1 = 100 — 16 = 84. Таким образом, уравнение имеет два корня.

Определение понятия «корень уравнения»

Рассматривая уравнение 4х^2 + 3х + 7х + 1 = 0, необходимо найти значения переменной x, при которых это уравнение выполняется. Если существуют значения, при которых уравнение равно нулю, то говорят, что уравнение имеет корни.

Чтобы найти корни уравнения, можно использовать различные методы, такие как факторизация, метод рациональных корней, метод дискриминанта и т. д. Один из популярных методов — это решение квадратного уравнения, представляющегося вида ax^2 + bx + c = 0.

Если взять пример и применить метод решения квадратного уравнения к уравнению 4х^2 + 3х + 7х + 1 = 0, можно определить, сколько корней имеет данное уравнение. В этом случае, после решения уравнения, можно установить, что оно имеет два корня, которыми являются конкретные значения переменной x.

Таким образом, понятие «корень уравнения» в математике позволяет найти значения переменных, при которых уравнение выполняется и является верным. Корни уравнения являются важным аспектом в различных областях математики и их нахождение имеет значительное приложение в решении различных проблем.

Как найти корни квадратного уравнения

Для нахождения корней квадратного уравнения, таких значений переменной, при которых левая и правая части уравнения равны, можно воспользоваться формулой:

x = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / (2a)

Здесь a, b и c — коэффициенты уравнения. Для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 коэффициент a не должен быть равным нулю.

Чтобы найти корни уравнения, нужно:

  1. Вычислить значение дискриминанта по формуле: Д = b^2 — 4ac
  2. Если дискриминант больше нуля, то у уравнения два корня: x1 и x2.
  3. Если дискриминант равен нулю, то у уравнения один корень x.
  4. Если дискриминант меньше нуля, то у уравнения нет корней.

Решение квадратных уравнений может быть полезным в различных областях, таких как физика, экономика, программирование и другие. Оно помогает найти значения переменных, при которых уравнение становится верным и предоставляет полезную информацию для решения задач и построения аналитических моделей.

Метод дискриминанта

  1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня;
  2. Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень (корень с кратностью 2);
  3. Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Имагинативные корни уравнения

Уравнение 4х^2 + 3х + 7х + 1 может иметь несколько корней, включая имагинативные числа. Корни уравнения определяются как значения х, при которых уравнение равно нулю.

Для нахождения корней данного уравнения используется метод дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения.

Если дискриминант D положителен, то уравнение имеет два действительных корня. Если дискриминант D равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень. Если же дискриминант D отрицателен, то уравнение имеет два имагинативных корня.

Имагинативные корни представляют собой комплексные числа, вида a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица (i^2 = -1).

Таким образом, если дискриминант D отрицателен, корни уравнения 4х^2 + 3х + 7х + 1 являются имагинативными числами.

Комплексные корни уравнения

В общем случае, квадратное уравнение имеет два корня. Однако, в данном случае, перед нами стоит задача найти корни, которые являются комплексными числами.

Комплексные числа представляются в виде a + bi, где a и b — это действительные числа, а i — мнимая единица, определяемая свойством i^2 = -1.

Для нахождения корней уравнения, воспользуемся формулой, известной как «Формула Кардано-Виета». Согласно этой формуле, корни квадратного уравнения могут быть найдены по следующим формулам:

ФормулаЗначение корня
x1(-b + sqrt(D)) / 2a
x2(-b — sqrt(D)) / 2a

где D — дискриминант, определяемый как D = b^2 — 4ac.

Когда дискриминант D меньше нуля, это означает, что корни уравнения являются комплексными числами. В случае данного уравнения, D = (3 + 7)^2 — 4 * 4 * 1 = 169 — 16 = 153.

Таким образом, получаем комплексные корни:

x1 = (-3 — √153i) / 8

x2 = (-3 + √153i) / 8

Это означает, что комплексные числа x1 и x2 являются корнями данного уравнения.

Проверка найденных корней на соответствие

КореньЗначениеРезультат
x1
x2

Подставим первый корень x1 в уравнение:

4(x1)^2 + 3(x1) + 7(x1) + 1 = 0

Вычислим значение:

4(значение_x1)^2 + 3(значение_x1) + 7(значение_x1) + 1 = 0

Полученный результат должен быть равным 0. Если это так, то первый найденный корень верный. Повторим эту же операцию для второго корня x2.

Оцените статью